Демонстрационные примеры.
 
 

 

Демонстрационные примеры

Рассмотрим параметры  понятия "треугольник" (и.э.1р. с порядковым номером 21):mп1 = 15,  mп2 = 3,  mп3 = 21,  mп4 = 50,  mп5 = 170, qп = 9, dп = 1, Оп = 8 . Данное понятие в дальнейшем продуцирует 15 других геометричес­ких понятий (mп1 = 15), в частности, равенство треугольников, меди­ана, равнобедренный   треугольник, внешний  угол и т.д. Определение треугольника состоит из трех понятий (mп2 = 3), а именно: геометрическая фигура, точка, отрезок. Свойства треугольников рассматриваются в 21 утверждении (mп3 = 21), начиная с аксиомы существования треугольника, равного данному и далее, например, о сумме углов треугольника, о центрах вписанной и описанной окружностей, о метрических соотношениях, о признаках равенства и подобия, о площади и т. д.
Так или иначе, понятие "треугольник" использовалось в 50 пунктах учебника Погорелова (mп4 = 50) для объяснения теоретического  материала и практическое закрепление усвоенных знаний, отработка навыков по применению различных свойств треугольника  при  решении задач, осуществляется с помощью самостоятельного решения учащимися 170 задач  (mп5 = 170).
Уровень знания  понятия "отрезок" равен 9 и так как треугольник определяется по парным соединением 3-х отрезков, то qп = 9. В начальной школе дети уже частично  изучали  эту  фигуру и могут визуально отличить ее от других, следовательно,  dп = 1. Проведенный контрольный опрос учащихся показал, что  они  достаточно уверенно воспроизводят определение  треугольника, строят чертеж, применяют  различные свойства   в   типичных  задачах, однако в нестандартных ситуациях, когда нужно  логически  обосновать  свои рассуждения результаты  низкие. Анализ решения  контрольных зада­ний  показал  уровень  знания  понятия  "треугольник": Оп = 8.
Аналогичным образом определяются количественные параметры для всех других информационных элементов 1-го рода.
В курсе стереометрии изучается следующая теорема  16.1: "Пересе­кающиеся прямые, соответственно параллельные двум перпендикулярным  прямым, сами  перпендикулярны"  (стр. 195 учебника Погорелова). Это геометрическое утверждение относится к классу информационных  эле­ментов  2-го рода и имеет  порядковый  номер  149  (Приложение 6) Строка с данным номером в приложении содержит следующие значения:
mу1 = 3, mу2 = 5, mу3 = 1, mу4 = 3, mу5 = 1, qу = 6, dу = 0, Оу = 5.
В формулировке рассматриваемого утверждения используются понятия: пересекающиеся, параллельные и перпендикулярные   прямые (mу1 = 3).
Справедливость утверждения доказывается  с  помощью последовательного применение теорем 15.3, 15.4, 15.6 (нумерация из учебника Погорелова А.В.) о параллельности  прямых и плоскостей, а также свойств сторон параллелограмма и третьего признака равенства треугольников  - итого  mу2 = 5.
В дальнейшем это утверждение, в свою очередь, используется при доказательстве одной теоремы (mу3 = 1), а именно - теоремы 16.3 о перпендикулярности прямой и плоскости.
Теоретический материал трех пунктов учебника (п. 87, п. 88, п. 89 стр. 195-200) в той или иной мере обращается к данному свойству взаимного расположения прямых в пространстве (mу4 = 3) и далее его использование необходимо при решении лишь  одной задачи (mу5 = 1).
Общий уровень знания учащимися понятий перпендикулярных и параллельных   прямых оценен в 6 баллов (qу = 6) и в курсе начальной  школы эта теорема не изучалась: dу = 0. Контрольный опрос показал уровень знания данного информационного элемента Оу = 5.
Рассмотрим, например, что представляет собой количественные параметры тематического состава школьного курса геометрии. Каждая тема в данной работе однозначно связана с отдельным пунктом учебника Погорелова А.В. (всего 121 пункта). В десятом классе изучается тема "Параллельные прямые в пространстве" (п. 83,стр.184-186). В приложении к данному пункту или строке с номером 83 соответствует группа чисел: mт1 = 2,  mт2 = 2, mт3 = 11, tт = 4, От = 8.
Это означает, что информационный состав темы складывается из двух геометрических понятий (mт1 = 2) параллельные и скрещивающиеся прямые в пространстве, и двух  утверждений (mт2 = 2): теоремы 15.1  о существовании  и  единственности  прямой, параллельной данной и теоремы  15.2  о трех параллельных прямых.
Теоретические знания учащихся, согласно  методическим указаниям, закрепляются в   решении 11 задач  (mт3 = 11), приведенных  в  конце параграфа 15, и на полное изучение данной темы отводится 4 учебных часа (tт = 4). Итоговый уровень знания темы равен  От = 8.
Таким образом, на основе базы  данных о взаимоотношениях  между информационными элементами курса геометрии, проводится расчет раз­личных количественных параметров, характеризующих степень связности учебного  материала, частоту  использования его элементов  при объяснении теории, подкреплении знаний и отработке навыков, умений в решении задач.
Этот подход позволяет наиболее тщательным образом измерить количественные характеристики школьного предмета. При наличии полной совокупности данных об уровне знания   учебных  элементов можно также ввести в рассмотрение величины, отражающие взаимовлияние уровней знания исходных элементов, связанных информацион­ными отношениями разных типов.
Многие параметры, описанные в данной работе, допускают  дополнительную трактовку. Так значение параметра mп2  - можно интерпретировать как уровень в иерархической структуре понятийного аппарата геометрии, т.е. основные геометрические объекты находятся на нулевом уровне, и чем больше понятий  участвует в определении  данного, тем выше его уровень иерархии. Параметр  mу1 - количество  понятий в формулировке утверждения, можно рассматривать и как  характеристику сложности текста теоремы, утверждения. С одной стороны  mу2 - количество утверждений, с помощью которых  доказывается теорема, и с другой стороны, количество  этапов в доказательстве. В  совокуп­ности все частотные параметры, за исключением параметра с индексом 2 образуют векторную величину, отражающую активность использования информационного элемента в формировании стройной системы геометрических представлений.
Количественные параметры тематического  состава  курса, отражающие его информационное содержание, дают представление   о динамическом распределении  учебного материала, напряженности процесса обучения и т.д. Предложенный  перечень количественных параметров курса геометрии не является самым полным и можно, в рамках созданной базы данных, определить еще множество других величин. Однако, как показывает ход дальнейшего  исследования, введение дополнительных числовых параметров не приводит, в конечном результате, и  существенному изменению выявленных  статистических закономерностей.
Ком­пактный перечень  описанных  параметров в численном виде выражает совокупное влияние основных факторов процесса обучения на   уровень формирующихся знаний.