Фактор предварительного " неформализованного " знания. часть 2

Также как и в ранее, геометрические  утверждения, изучавшиеся и не изучавшиеся в начальной школе, на рис.12 представлены столбцами с различающейся штриховкой.

Рис. 12. Столбчатая диаграмма распределения геометрических утверждений по уровням знаний с разделением по значениям параметра d: а) планиметрия; б) стереометрия

Если для геометрических понятий расстояние в баллах оценок между двумя модальными значениями разных групп планиметрии составляло 8 - 4 = 4, то для утверждений нельзя однозначно сказать о ступенчатом переходе на более высокий уровень знаний, т. к. при d_у= 0 визуально выделяются на графике два множества с экстремальными значениями: O_y1 = 4 и О_у2 = 6. Это положение сохраняется также и для утверждений стереометрии с небольшим сдвигом в сторону повышения уровня знаний:  O_y1 = 4 и О_у2 = 7. Данные два класса геометрических утверждений уже были выделены в предыдущей главе при рассмотрении частотной  гистограммы уровня знаний и, как показал анализ составляющих элементов, их локализация связана с содержанием утверждений. Первый класс теорем и аксиом с более низким уровнем знаний относится к наиболее сложным темам курса геометрии (преобразовании, векторы, координатная система), а второй класс описывает свойства различных геометрических фигур и тел (свойства треугольников, многоугольников, окружности, многогранников, тел вращения и т.д.).
Заметим, что в начальной школе предварительно изучаются утверждения, в основном, именно второго класса, т.е. свойства конкретных геометрических фигур. Относительный объем информационных элементов 2-го рода, у которых d_у = 1  в их общем количестве незначителен и  поэтому трудно с высокой степенью достоверности делать выводы о влиянии этой величины на уровень знаний - О_у. В курсе планиметрии группа  геометрических  утверждений, знакомых  учащимся до начала систематического изучения курса элементарной  геометрии, распределена в интервале уровней знаний от  4  до  10 баллов, с модальным значением О_у = 6. Здесь также сохраняется общая тенденция повышения уровня знаний в старших классах по  программе стереометрии, а соответствующие интервал распределения [7; 9] и модальное значение О_у = 8.
Сравнивая два графика на рис.12, характеризующих распределение информационных элементов 2-го рада в зависимости от значений, при­нимаемые величиной d_у (d_у = 0 или d_у = 1), для планиметрии и стереометрии, можно сделать несколько интересных выводов. Форма графика для пла­ниметрии более гладкая, экстремальные значения расположены близко друг к другу и разделены точкой в 5 баллов, в которой высота столбца, соответствующего значению d_у = 0, не существенно меньше соседних с максимальной высотой (высота пропорциональна количеству  утверждений, имеющих заданный уровень знаний). Для d_у = 1, если мысленно провести огибающую по вершинам столбцов, то ее график сходен с графиком функции плотности нормального распределения, с большой дисперсией и средней равной 6. Аналогичные графики для курса  стереометрии  отличаются более резкими переходами от одной области геометрических  утверждений к  другой; повышением средних, или модальных, значений; уменьшением величины дисперсии.
Таким образом, как и в случае информационных элементов 1-го рода, для геометрических утверждений  также немаловажен фактор предварительного  знания учащимися  из программы начальной школы простых свойств фигур и тел, изучение которых проходит без применения ме­тодов дедукции, без строгого математического обоснования, аксиомы и теоремы геометрии, в восприятии учащихся, разделяются, по уровню знания, на два больших класса, которые отчетливо выделяются на ри­сунке 12.
Фактически это разделение отражает сложность теоретичес­кого материала, абстрактность  изучаемых  свойств геометрических объектов. Можно говорить о том, что осмысление  усвоенной теорети­ческой информации происходит на одном из двух стабильных уровней знания: более сложный учебный материал, связанный с элементами аналитической, векторной геометрии или топологии - на уровне 3-4 балла (в планиметрии) и 4 балла (в стереометрии); менее сложный учебный материал с традиционными задачами измерения и описания свойств геометрических фигур и тел на уровне 6 баллов (в планиметрии) и 7 баллов (в стереометрии). В старших классах эта дифференциация изучаемой информации более ярко выражена, притом, что общий уровень знаний незначительно повышается.
Проведенный анализ влияния фактора предварительного "неформализованного"  знания учащимися различным геометрических представлений, количественно выраженного  в данной работе параметрами d_п и d_у, показывает, что  школьники  в  процессе систематического изучения
дедуктивной  теории геометрии опираются на чувственные образы, на свой  эмпирический  опыт, полученный в начальной школе и, следовательно, необходимо уделять особое внимание качеству  преподавания начал геометрии в младших классах школы.