Обсуждение и анализ стандартных ошибок

О состоянии геометрического образования в школе можно судить и по той информации, которая содержится в неправильных ответах учащихся. В процессе исследования нами были рассмотрены и проанализированы  те ошибки, которые учащиеся допустили  в  контрольном опросе.
В §2 главы 2 подробно описан метод проведения контрольной рабо­ты, здесь мы бы хотели напомнить, что работа проводилась в 9-11 кассах различных школ города Ташкента. Выбор школ и учителей совершенно случайный, условия проведения контрольных работ одинаково для всех учащихся.
Задания контрольной работы составлялись в основном для коротких ответов (да или нет), разрешалось отвечать рисунком, но каждый раз мы отмечали, что ответы с разъяснениями оцениваются выше. В результате, ответов полных с подробным разъяснением было очень мало.  Всего 6 вопросов из 593 набрали 100%  верных ответов и 11 вопросов набрали 0.0%.
Геометрия по своей сути это наука, которая формирует логическое мышление учащимся. Нельзя выделить темы в геометрии для отработки одной какой-либо логической операции, они неразделимы и проходят через весь тематический куре геометрии. Перечислим основные, на наш взгляд, логические операции:

• формулировка и оценка справедливости утверждений;
• формулировка обратных и противоположных утверждений;
• оценка справедливости утверждений;
• выделение общих свойств и различий;
• сравнение по степени общности;
• аналогия;
• отнесение понятий к группе, классу;
• приложение общего положения в конкретной ситуации.

Задания по постановке и содержанию предполагали знание сразу пары информационных элементов: понятий и логических операций, или утверждений и логических операций. Многие вопросы имели низ­кий процент верных ответов только из-за незнания логических операций. То, что учителя не развивают логического мышления у учащихся, показали результаты проведенной нами контрольной работы. Например, учащиеся теряются перед вопросами такого рода: что общего? Верно ли определение (утверждение)? чем отличаются? сформулируйте обратное утверждение.
В одном из заданий контрольной работы мы просили перечислить основные неопределяемые понятия. Верно ответивших было всего 38.1%. Основные неопределяемые понятия вводятся в первом пункте учебника, в котором всего 9 строчек текста изучаются один учебный час. Низкий процент верно ответивших можно объяснить тем, что на первых уроках геометрии не отрабатываются такие моменты как "основные" и "неопределяемые" понятия. Учитель нарушает логическое осмысление строения курса геометрии, когда он называет точку и прямую просто геометрическими фигурами и не раскрывает такие моменты, применительно для точки и прямой, как основные и неопределяемые.
На первом уроке можно ознакомить учащихся с различными геометриями   построенных на основных  неопределяемых понятиях, предложив несколько пар: например, точка и прямая, отрезок  и  расстояние, угол и градусная мера угла. И далее, изучая  §1 "Основные свойства простейших геометрических фигур" (16ч.), можно с помощью учащихся выводить аналогичные свойства и определения для различных  геометрий.
Аналогия - это логическая операция, отнесенная в данной работе к информационным элементам 3-го рода. Многие вопросы контрольной работы рассчитывали  применение  аналогии в рассуждениях.
Например, в учебнике параллельным прямым уделено достаточно  много времени, мы же просили дать определение параллельных отрезков. Так с этим заданием справились только 27.4% учащихся, хотя не все из них были полностью точны в формулировках.
Понятие луч впервые ученик услышал в 4-ом классе, и в 5, 6-ом уже закрепил на задачах, а в 7-ом классе это понятие называют по­лупрямой, определяя как часть прямой, которая состоит из всех ее точек, принадлежащих одной полуплоскости. Отсутствие преемственности в определениях одного итого же понятия дает низкий процент, 36.9%, верных ответов на вопрос - "Что общего между полупрямой и лучом?".
Развернутый угол у учащихся ассоциируется с градусной мерой 180 градусов; Погорелов А.В. вводит его через  дополнительные полупря­мые. Вопрос - "Какая связь между понятиями: развернутый угол, на­чальная точка полупрямой, дополнительные полупрямые?" - вызвал затруднения и только  33.7%  школьников ответили верно.
Многие учащиеся четких формулировок понятий по Погорелову не дают, пытаются определить интуитивно, объясняя смысл своими словами. Всего 2.7%      учащихся  верно формулировали определение понятия "луч проходит между сторонами угла". Очень часто ответом был просто рисунок.
В том, что перпендикуляр - это полупрямая, а не отрезок, уверены 84.1% учащихся. Это можно объяснить тем, что определения понятий кажущихся  простыми  даются учащимся нечетко, раскрываются не пол­ностью, надеясь на естественное понимание детьми.
Выявление различий или нахождение общих свойств предметов отно­сится к логическим операциям и вызывает у многих ребят сложности.
Так, например, 23.3% учащихся знают, чем отличается биссектриса угла от биссектрисы треугольника; 27.5% учащихся видят различия между вписанным и центральным углами; 22.3% учащихся могут отличить симметрию относительно точки от гомотетии, а всего 11.4% учащихся видят различия между преобразованием подобия и гомотетии; вообще никто из учащихся (0.0%) не знает чем отличаются орт и еди­ничный вектор, а также внутренняя точка тела от граничной; чем от­личается угол от плоского угла и внешний угол от дополнительного угла соответственно ответили 15.6% и 4.5%  учащихся; 33.5% учащихся не увидели различий перпендикулярности прямых на плоскости и в пространстве; общее между ортогональной проекцией и симметрией относительно плоскости определили только 3.7% учащихся, а вот различие между двугранным углом и углом между плоскостями смогли  правильно показать 15.6%.
В пункте 20 учебника Погорелова А.В. вводятся понятия внутренние односторонние углы и внутренние накрест лежащие углы, рассматривая произвольные две прямые пересеченные третьей. Но далее эти понятия применяются только для описания условий параллельности прямых.
Понятия, вводимые специально для доказательства конкретных свойств, принимаются учащимися только в паре с теоремой  или  свойством, а как самостоятельные эти понятия воспринимаются немногими. Для выше описанных понятий, при нашем опросе получается следующая картина: на вопрос - "Как называются углы, образованные при пересечении прямой двух заданных прямых?" - верно ответило лишь 12.2% учащихся, а вопрос на знание свойства параллельности прямых - "Какие условия нужно наложить на внутренние накрест лежащие углы для того, чтобы прямые были параллельны?" — получили 50.6% верных ответов учащихся.
Кстати, отвечая на первый  вопрос, учащиеся рисовали, достаточно часто, вертикальные или снежные углы.
Погорелов А.В. разделил введение  понятий вписанный угол и центральный большим временным промежутком (около 90 учебный часов), да и ввел их по разному. Когда учащихся попросили построить вместе два этих угла, да еще с одним, общим  условием (опирающимися на одну  дугу), то изображения получились без смысла, не описывающие ни вписанные, ни центральные углы. Величина вписанного угла Погореловым определяется не через центральный угол, а через угол между радиусами, так как вписанный угол по своему характеру это два луча с общей вершиной, тогда как центральный угол это плоский угол с вершиной в центре окружности. Почти одинаково, мало учащихся смогли верно, определить вписанный угол через угол между радиусами (15.3%) и через центральный угол (14.3%), а с вопросом - "В каком случае вписанный угол равен половине угла между радиусами?"- справилось всего 6.3% учащихся.