Обсуждение и анализ стандартных ошибок. часть 2

Достаточно сложные определения понятий учащиеся, упрощая, запоминают их изображением. Так, например, определяя плоский угол и дополнительный к нему угол, 14.6% учащихся правильно изобразили рисунком, а остальные ребята рисовали смежные углы, называя их плоским и дополнительным к нему.
Внешний угол и дополнительный угол сравнивают при помощи треугольника, путая дополнительный угол с внутренним углом треугольника, правильно ответили только 4.5% учащихся. Суммируя все ошибки учащихся на вопросы об углах, можно предположить, что отвечающих было бы больше, если все углы в курсе геометрии рассматривались в одном пункте.
База введения  всех углов стала бы общей и в этой главе,  можно было бы отработать такие логические операции (информационные элементы 3-го рода), как выделение  общих свойств и разли­чий, сравнение по степени общности, а также аналогия. Низкие результаты были получены при ответах на вопросы, где надо было  применить абстрактное и логическое  мышление. Приведем для примера  четыре вопроса из контрольной работы с процентом верных ответов:

• Верно ли утверждение: "Две прямые, параллельные одной и той же плоскости, параллельны между собой."?  (3.9%)
• Верно ли утверждение: "Две плоскости, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны между собой."?  (8.1%)
• Верно ли утверждение: "Через точку, лежащую на данной прямой мож­но провести только одну прямую, перпендикулярную этой прямой."?  (0.0%)
• Верно ли утверждение: "Прямая, пересекающая одну из двух данных параллельных прямых, пересечет и другую."?  (4.0%)

Немногие учащиеся четко и грамотно определили круг и окружность и сравнили между собой их элементы (центр, радиус, диаметр), верных ответов было 19.2%.  Достаточно уверено отвечают, что могут быть подобными окружность и круг равного радиуса.
Темы, связанные с преобразованием фигур, в основном плохо понимаются учащимися. Многие вопросы в контрольной работе на построения по этим темам остались без ответов вообще, а если пытались постро­ить что-нибудь, то построения неточные, без правил, присущих этим темам. Это нам кажется либо от полного незнания, либо от неустой­чивых, неуверенных знаний. Например, построить поворот на 30 градусов треугольник с тремя равными углами смогли лишь 18.2%   учащихся, 15.9%  учащихся построили гомотетию отрезка с коэффициентом 2 .
В контрольной работе  1  каждый  вариант содержал три задания на построение.  С  заданиями  на  построение  учащиеся,  в  основном, справились  успешно,  и  только  пятая часть вопросов имеет низкий  процент верных ответов (до 25%).  Большое  затруднение у ребят вызвало задание  изобразить  геометрическое  место  точек лежащих между отрезком и произвольной точкой вне отрезка (7.6%). Учащиеся отвечали, что не знают,  либо  пытались  рисовать различные фигуры, как бы ни понимая поставленного вопроса.
Тему  §10 " Векторы на плоскости " учащиеся усвоили слабо. Опрос проходил в разных школах, в   которых работают непохожие друг на друга  учителя, у которых свой метод работы, но векторы и все их свойства,  учащиеся не знают одинаково. Ошибки допускаются разными учащимися одинаковые:  при  сложении или  вычитании  векторов не учитывается направление векторов, без правил параллельного переноса перемещают вектора, вопросы, заданные по понятиям орт и единичный вектора вообще остались без  ответов,  а  строить  по координатам вектора совсем не могут. Понятие вектор вводится почти одновременно в геометрии и в физи­ке, к тому же в геометрии  рассматриваются  многие из его свойств; на наш взгляд, несогласованная методика введения одного и того же понятия в разных дисциплинах явилась причиной плохого  усвоения как понятии вектор, так и его свойств. Правило треугольника для сложения векторов знают 4.7% учащихся, чуть  больше - 5.1% учащихся знают о правиле умножения вектора на число.
Если внимательно проанализировать данные в Приложениях 3 , то сразу видно, что задания по теме векторов имеют в основном до 20% верных ответов. На основании данных нашего опроса мы считаем, что методику преподавания по теме  "Векторы на плоскости"  надо полностью пересмотреть, обязательно нужно согласовать методы введения вектора и его свойств в геометрии и в физике.
Знания утверждений проверялись в контрольных работах 2 и 4. Воп­росы в заданиях выявляли следующие умения: определять верность ут­верждения; приводить различные  примеры  геометрических  объектов; закончить начатое утверждение; исправлять допущенные ошибки в фор­мулировках; восстановить пропущенное условие; опознать утверждение по описанию; сформулировать утверждение, утверждение обратное данному; применять отдельные свойства геометрических объектов; приме­нять утверждения в конкретных случаях.
В планиметрии есть аксиома:  "Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими". Более 80% учащихся пере­фразировали ее для четырех точек,  показав "умение использовать" аналогию и получили следующее утверждение: "Из четырех  точек на одной прямой две и только две лежат между двумя другими". Изображать параллельные прямые учащиеся могут без труда, используя края линейки, а вот линейкой и транспортиром смогли построить 12.3% учащихся. Хотя только у 13%     учащихся хватило терпения рас­смотреть все возможные варианты проведения через три точки  параллельных прямых.
Теорема  Пифагора хорошо усвоена учащимися; если только в 8-ми темах использовали знание этой теоремы для введения  нового  поня­тия, то при решении задач к ней обращались 130 раз.  Несмотря на форму поставленного нами вопроса: "Какому условию  удовлетворяют катеты и гипотенуза прямоугольного треугольника?",  56.6% учащихся, верно определили, что здесь спрашивается о теореме Пифагора. Но два следствия, вытекающие  непосредственно  из  теоремы  Пифагора, смогли назвать только около 20% учащихся, хотя в практике применение  соотношений этих следствий достаточно часто.
В курсе геометрии Погорелова очень слабо просматриваются  связи между понятиями, вводимыми в разное время, не полностью  используются естественные связи между утверждениями. Это очень  усложняет обучаемость учащихся, так как им самим  не  проследить эти  связи. Прямую преемственность можно увидеть между признаками  равенства треугольников и подобия треугольников. Тогда относительно высокие показатели знания признаков  равенства  треугольников (результаты нашего опроса соответственно: 36.1%,  28.1%, 50.6% учащихся верно определивших признаки равенства треугольников) должны  предопределять высокий процент знания признаков подобия. Но в   нашем опросе 15.8%  учащихся перечислили правильно признаки подобия треугольников.
В §1 главы 1 возникал вопрос о целесообразности временного  разделения курса геометрии на 2 части: планиметрию и стереометрию, там же говорилось, что у детей в возрасте 12-13 лет достаточно развито пространственное воображение и восприятие трехмерных  геометрических тел не вызывает трудностей. К 17-18 годам наблюдается как бы обратная картина: пространственные представления учащихся не вполне сложились к концу изучения геометрии, можно сказать, что одна из цепей обучения геометрии не достигнута.
Большие трудности вызывали задания на  взаимное  расположение в пространстве геометрических объектов: не смогли объяснить сколько плоскостей можно провести через отрезок и точку, не лежащую на от­резке; всего 8.3% учащихся верно расположили в пространстве 4 точ­ки, чтобы через них не проходила ни одна плоскость; в каком случай гомотетия переводит данную плоскость в параллельную ей  плоскость ответили лишь 9.5% учащийся.
Многие вопросы 4-ой контрольной работы вообще остались без ответов. Достаточно сложно объяснить, почему  учащиеся не знают, например, как с помощью плоского сечения произвольной пирамиды получить надобную ей пирамиду, ведь в учебнике геометрии именно применяя  сечение, получают подобную данной и усеченную пирамиду; не все могут  определить центр симметрии шара, хотя среди  примеров  центральносимметричных фигур приводят шар. Итак, завершая обсуждение ошибок допущенных  учащимися при отве­тах, можно выделить следующее:

• плохо развито логическое мышление;
• многие понятия, которые вводились до основного курса геометрии, не воспринимаются в новом определении по Погорелову;
• учащиеся не дают четких формулировок определений и утверждений;
• очень слабо просматриваются связи между понятиями, вводимыми в разное время, не полностью используются естественные связи  между утверждениями.

Завершая обсуждение ошибок учащихся, хочется еще paз подчеркнуть, что в ответах  учащихся (правильных или неправильных) полностью отражаются все достоинства и недостатки методики преподавания.