Структурная организация школьного курса геометрии

Одной  из  главных  целей  математического  образования в школе    является формирование у учащихся навыков логического мышления.
Научить детей правильно рассуждать, обосновывать собственные предположения, делать справедливые выводы на основе известных фактов, дать полное и непротиворечивое определение фигуры, тела и т.д. крайне сложно, тем более в условиях постоянного дефицита учебного времени.
Курс геометрии один из общеобразовательных  предметов средней школы, который достигает этих целей. С  одной  стороны, в  геометрии изучаются конкретные плоские и пространственные формы окружающего мира, их различные свойства и методы измерения геометрических объектов.
Т.е. те знания, которые имеют много практических  прило­жений, в частности в смежных науках, в технике  и  т.д. с  другой стороны, аксиоматическая теория геометрии базируется на предельно абстрактных свойствах объектов, не имеющих, вообще  говоря, реальных эквивалентов.
Т.е. хотя опыт и визуальное восприятие пространственных форм играют значительную роль в происхождении и развитии геометрии, ее никак нельзя считать экспериментальной наукой. Преимущество  геометрии, в сравнении с другими  математическими науками, состоит в том, что строгое логическое мышление  получает поддержку в   виде чувственных  образов. По всей  видимости, именно это является причиной того, что аксиоматический метод изучается в школе на   основе геометрии, а не арифметики или алгебры.
Большинство изучаемых в курсе геометрии математических утверждений достаточно  очевидны. Возникает вопрос - в чем причина  столь низких знаний, непонимания  учащимися простых свойств геометричес­ких объектов, неумения применить  известные  теоретические  факты при решении задач?  Не  претендуя на полный  анализ всевозможных факторов педагогического  процесса, рассмотрим те из них, которые относятся к числу основных.
Здесь возникает проблема несоответствия между предельно абстрактным уровнен изложения теоретического материала по геометрии, требующего наивысшего напряжении мыслительным способностей, и интеллектуальными способностями детей 13-14-летнего возраста, с которого начинается систематическое изучение Евклидовой аксиоматики.
Речь, естественно, не идет о принципиальной невозможности усвоения уче6ной информации, а лишь об отрыве предполагаемых целей обучений от потенциальных возможностей учащихся. И этот разрыв преодолевается, со стороны педагога сознательным занижением степени абстрагирования, сокращением числа доказательств и формальных определений, а со стороны учащихся, восприятием теоретического материала на интуитивном уровне, игнорируя громоздкие формулировки и сложные доказательства [28].
Учителя математики знают, что учащиеся крайне неохотно решают задачи на доказательство и предпочитают стандартные упражнения, выполняемые на основе выученной процедуры. Для многих учащихся правильно решить задачу означает не то, что нужно найти решение, удовлетворяющее исходному условию, а точно выполнить определенную последовательность действий, называемую правилом. Исключая учащихся с отличными знаниями по математике, у всех остальных формируется психологический стереотип боязни доказательств, боязни публичного обоснования своих рассуждений.
Замечено, что знания учащихся по алгебре обычно выше, чем по геометрии. Это следствие того, что в курсе алгебры большая часть теоретического материала посвящена, описанию методов вычислений или решения уравнений, неравенств определенного типа, т. е. происходит алгоритмизация  деятельности учащихся при меньших затратах  мыслительной энергии.
Исходя из своего практического опыта, многие преподаватели мате­матики предлагают существенно облегчить  существующий курс геометрии на базе учебника Погарелова А.В. "Геометрия 7-11" путем уменьшения количества различных тем, объяснения части  утверждений без доказательств, сокращения вспомогательных понятий и т.п. Наиболее радикальные предложения  сводятся к замене аксиоматического подхода в построении  теории на  частично дедуктивный, при котором большинство свойств геометрических фигур, тел устанавливается  эмпири­чески, путем  опытных  намерений и лишь наиболее  простые теоремы подтверждаются с помощью  умозаключений, возможно  не строго  формальных.
Стратегически данный подход является, на наш взгляд, совершенно неприемлемым. Во-первых, при отсутствии в рамках программы общеоб­разовательной школы специального  курса логики его функцию наилучшим образом может выполнить аксиоматическая теория  геометрии. Во-вторых, визуальное восприятие геометрических фигур значительно облегчает понимание абстрактных свойств идеальных объектов, позволяет поддержать чисто логические умозаключения зрительными, чувственными образами. И наконец, простое сокращение области формализованных знаний и применение дедуктивных методов приведет к увеличению объема запоминаемой учебной  информации, но это произойдет за счет ограничения мыслительной деятельности учащихся по самооргани­зации полученных знаний. Состояние  школьного  образования по гео­метрии, исследуемое в настоящей работе, указывает на необходимость коренной переработки содержания учебной программы.
Суммируя критические замечания учебно-методической литературы и приведенный здесь анализ  специфики  геометрического  образования, мы предлагаем для обсуждения ряд принципиальных направлений, по которым должна проводиться реформа школьного курса геометрии. Для преодоления разрыва между интуитивным  образом мышления учащихся и абстрактным содержанием основного теоретического  материала курса геометрии необходим достаточно протяженный  предварительный этап. Как мы видим из статистического анализа закономерностей формирования знаний учащихся, усвоение  понятийного  аппарата геометрии существенно улучшается в случае начального  ознакомлении с предметом на уровне зрительного, неформализованного восприятия. В педагогическом отношении лучшим  определением геометрической фигуры является не то лаконичное, непротиворечивое  законам логики определение, а то, которое понимается учащимися.
Смысловая память детей 13-14 летнего возраста еще только развивается и по своему месту в процессе формирования интеллекта значительно уступает эмпирической памяти накопления различных сведений о явлениях реального мира [39].
Первый год систематического обучения геометрии нужно  посвятить ознакомлению учащихся с научной терминологией, основными объектами на плоскости и в пространстве, изучению простейших свойств геометрических фигур, тел и введению элементов  математической дедукции. На данном этапе следует ориентировать преподавание по принципу от простого к сложному, от конкретного к общему. Т.е. показав, учащимся на рисунках фигуры треугольника, четырехугольника, нужно, выделив  общие  признаки, объединить их  в  класс многоугольников; призму, пирамиду  объединить  в класс многогранников и т. д.
Здесь не следует  опасаться  нечетких, нестрогих объяснений и больше ис­пользовать рисунки, чертежи, макеты и другие наглядные  средства, т.е. максимально  задействовать потенциал чувственного, эмпирического восприятия. Затем учитель может вместе с учениками, на основе имеющихся визуальных  представлений, попытаться дать  определение известным  геометрическим  фигурам, показав на примерах (из биологии), как это делается: нужно задать общий  класс, к которому относится данный объект и видовой признак [26].