Структурная организация школьного курса геометрии
 
 

 

Структурная организация ... часть 2

Большую пользу могут принести ошибки, которые совершают ученики при самостоятельных попытках определить тот или иной  геометрический объект, фигуру. В процессе анализа предложенного  определения происходит сравнение понятий равного типа, понимание  зависимости ряда  попадающих под данное определение объектов от четкости формулировки и, в целом, происходит  осознание  необходимости  более строгого, логически непротиворечивого выражения  собственных  рассуждений. Совершенно очевидно, что такой вид мыслительной  работы учащихся гораздо более продуктивен, чем простое заучивание  приведенных в учебнике определений [7].
Как показал анализ знаний учащихся, крайне низкие показатели характеризуют темы, связанные с группой геометрических  преобразований.
В педагогической печати возникают  предложения об исключении этих  тем из учебной программы. На наш взгляд, это совершенно недопустимо, т.к.  геометрические преобразования играют важную роль в формировании у учащихся целостной системы  представлений о формах и свойствах пространственных объектов, и является необходимым звеном в составе теоретических знаний. На начальном этапе обучения следует отвести  определенное время для изучения  данной темы на уровне   алгоритмов   построения геометрических фигур при симметриях относительно точки, прямой, переносе, повороте, гомотетии. Такое конструктивное знание   вполне доступно учащимся 7-8 классов.
Главная задача предварительного этапа геометрии заключается в постепенном развитии у учащихся навыков и, самое важное, потреб­ности в правильных аргументированный рассуждениях. Необходимо, чтобы у учащихся постепенно набирался опыт обоснования собственных суждений и возможны "нестрогие" доказательства теоремы т.к. дети не видят в этом глубокого смысла и поначалу их больше интересуют факты, новые геометрические объекты и их свойства, т.е. происходит процесс эмпирического накопления информации. Более того, у учащихся нет еще четкого представлении о математической строгос­ти суждений, о справедливости утверждений и т.д.. Чрезвычайно важ­но развивать внутреннюю потребность в аргументации новых рассужде­ний, тем более, что большинство геометрических утверждений достаточно "очевидны"   с   точки   зрения   обыденной   логики [29].
Возникает   очень   сложная   педагогическая   проблема   создания   благоприятной   среды,    в   которой      ученики,    проявляя   творческую   активность, должны  понять   логические   значения   истинности и ложности, структуру математического утверждения, необходимость  дедуктивного  доказательства. Для этого учителю      необходимо  посеять  зерно сомнения в головы  учащимся, например,    время от времени приводя ложные утверж­дения, с наследующим   подробным обсуждением возникающих противоречий. Также этого можно   достичь подробным анализом простых свойств геометрических фигур,    тел, приведением примеров ложных утверждений и неправильных   рассуждений, решением  логических задач и т.д..
He обязательно абсолютно точно воспроизводить доказательство теоремы из учебника, но ученики должны знать основные посылки доказательства и уметь провести опытную проверку: построить чертеж и измерить.
Стимуляция потребности доказательства не должна ограничиваться начальным периодом изучения курса геометрии, т.к. она служит важным средством повышения познавательной активности учащихся в области логического мышления. Только по достижении достаточно высокого уровня применения методов формальной логики возможно введение аксиоматической системы, т.е. учащиеся должны самостоятельно дойти до мысли об изначальной группе принимаемых на веру простых утверждений и, с помощью учителя, усвоить Евклидову аксио­матику.
Последующий этап изучения дедуктивной теории можно проводить на максимально высоком уровне строгости, причем существенно расширив самостоятельную работу учащихся. Таким образок, не следует форсировать развитие навыков логического мышления учащихся с помощью введения системы аксиом на начальном этапе курса, а  более   эффективной была бы предварительная подготовка с последующим увеличением интенсивности потока изучаемой информации [26].
Можно сделать вывод, подтверждающийся результатами проведенного анализа качества знаний по геометрии, что если   необходимая ступень логического развития учащихся не достигнута,    то дальнейшее систе­матическое изучение аксиоматической теории   пойдет по пути эмпири­ческого накопления информации, навыков ее   использования о стандартных ситуациях, без должного осмысления   знаний. Абсолютное большинство ответов на задания контрольного      опроса носило характер воспроизведения правильно или  неправильно      заученной информации, даже если требовалось обосновать свое решение, или применить знания в несколько необычных условиям.
Процент учащихся старших классов, сформулировавших для известного утверждения обратное или противоположное, практически равен нулю. По окончании  предварительного этапа  необходимо  провести контрольную работу по проверке подготовленности учащихся и полноценному восприятию теоретического материале по геометрии. Это  следует делать по двум приоритетным направлениям:

  • проверка эмпирических, визуальных представлений об основных геометрических фигурах на плоскости и в пространстве;
  • проверка знания понятий математической  логики, умения  формировать определения и проводить несложные дедуктивные  рассуждения.

Систематическое наложение курса геометрии можно проводить на высоком уровне абстрагирования, предварительно ознакомив учащихся с целью  обучения: построения  непротиворечивой  теории о свойствах плоских и пространственных форм с помощью методов  математической дедукции.
В учебнике А.В. Погорелова аксиомы  планиметрии  приводятся, начиная со 2-го пункта, и называются основными  свойствами, а в пункте 9-ом объясняются понятия аксиома, теорема, доказательство. С точки зрения методической целесообразности аксиоматика школьного  курса геометрии может быть переизбыточной. Учащимся нужно ясно  представить, что все утверждения, за исключением нескольких аксиом, должны строго доказываться и это является необходимым условием постро­ения любой научной теории, а не объясняется излишней  требовательностью педагога. В качестве  начальных  геометрических понятий на плоскости можно принять не только точку и прямую, но и точку и отрезок.
Интересная методика изложения  теоретического материала, построенная на аксиоматике отрезка и точки, предложена Александровым А.Д. и Нецветаевым Н.Ю [5]. Бесконечная прямая  конструируется с помощью продолжения отрезка. Основными отношениями между основными геометрическими объектами являются отношения принадлежности точек к отрезку и равенства отрезков. В соответствии с этим аксиоматика  элементарной геометрии подразделяется на аксиомы связи точек и отрезков и аксиомы равенства и измерения отрезков. Для цельности изложения вводится основной объект - геометрическая фигура, являющаяся заменителем понятия множество с соответствующей группой 3-х аксиом (это подход, на наш взгляд, не отнюдь необоснованный).
Система линейных и плоских аксиом планиметрии состоит из 14  утверждений, к которым в последующем добавляются еще 3 пространственные  аксиомы  о принадлежности  точек  плоскости и пересечении плоскостей. Подробное рассмотрение курса  элементарной  геометрии Александрова А.Д. и Нецветаева Н.Ю. не входит в число целей  нашего исследования. Здесь основные положения данного  теоретического курса представлены как один из интересных  методических  подходов построения аксиоматической теории геометрии